【解答・解説】平成３０年度北大理学院力学

院試物理

2022.07.08 2022.03.29

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問１：中心力ポテンシャルにおけるラグランジュ方程式

1-1.

運動エネルギーは

$$T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2)$$

よってラグランジアンは

\begin{align*}
L &= T – U\\
&= \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) + \frac{C}{\alpha – 1}\frac{m}{r^{\alpha -1}} …(1)
\end{align*}

1-2.

$r$についてのラグランジュ方程式は

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right) – \frac{\partial L}{\partial r} = 0$$

(1)を代入して

$$\frac{d}{dt}(m\dot{r}) – \left(mr\dot{\theta}^ – \frac{Cm}{r ^{\alpha}}\right) = 0$$

すなわち

$$m\ddot{r} – mr\dot{\theta}^2 + \frac{Cm}{r ^{\alpha}} = 0 …(2)$$

$\theta$についてのラグランジュ方程式は

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) – \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$$

$$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = 0 …(3)$$

1-3.

いま、$L = mr^2\dot{\theta}, l = r^2\dot{\theta}$であるから(2)は

$$\ddot{r} – \frac{l^2}{r^3} + \frac{C}{r^{\alpha}} = 0 …(4)$$

と書ける。ここで$u = \frac{1}{r}$とおくと

\begin{align*}
\frac{dr}{dt} &= \frac{d\theta}{dt}\frac{dr}{d\theta}\\
&= \dot{\theta}\frac{du}{d\theta}\frac{dr}{du}\\
&= – \frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{du}{d\theta}\\
&= – r^2\cdot\frac{l}{r^2}\frac{du}{d\theta}\\
&= -l\frac{du}{d\theta}
\end{align*}

\begin{align*}
\frac{d^2r}{dt^2} &= \frac{d}{dt}\left( – l\frac{du}{d\theta}\right)\\
&= – l\frac{d\theta}{dt}{d}{d\theta}\left( \frac{du}{d\theta}\right)\\
&= – \frac{l^2}{r^2}\frac{d^2u}{d\theta ^2}\\
&= – u^2l^2\frac{d^2u}{d\theta ^2}
\end{align*}

以上より(4)を変形して

\begin{align*}
&- \frac{l^2}{r^2}\frac{d^2u}{d\theta ^2} – \frac{l^2}{r^3} + \frac{C}{r^{\alpha}} = 0 \\
&\rightarrow \frac{d^2u}{d\theta ^2} + \frac{1}{r} – \frac{C}{l^2r^{\alpha – 2}} = 0\\
&\rightarrow \frac{d^2}{d\theta ^2}\left(\frac{1}{r}\right) + \left(1 – r^{3 – \alpha}\frac{C}{l^2}\right)\frac{1}{r} = 0
\end{align*}

が示せる。

1-4.

$\alpha = 3$のとき、(1)を解く。

$$\frac{d^2}{d\theta ^2}\left(\frac{1}{r}\right) + \left(1 – \frac{C}{l^2}\right)\frac{1}{r} = 0$$

i)$\frac{C}{l^2} > 1$のとき

\begin{align*}
& \frac{1}{r} = Ae^{\sqrt{\frac{C}{l^2} – 1}\theta} + Be^{-\sqrt{\frac{C}{l^2} – 1} \theta}\\
& r = \frac{1}{Ae^{\sqrt{\frac{C}{l^2} – 1}\theta} + Be^{-\sqrt{\frac{C}{l^2} – 1} \theta}} & (A, Bは任意定数)
\end{align*}

ii)$\frac{C}{l^2} = 1$のとき

\begin{align*}
& \frac{1}{r} = C + D\theta\\
& r = \frac{1}{C + D\theta} & (C, Dは任意定数)
\end{align*}

iii)$\frac{C}{l^2} < 1$のとき

\begin{align*}
&\frac{1}{r} = Ecos\left(\sqrt{1 -\frac{C}{l^2}}\theta + \theta _0\right)\\
&r = \frac{1}{Ecos\left(\sqrt{1 -\frac{C}{l^2}}\theta + \theta _0\right)} & (E, \theta _0は任意定数)
\end{align*}