【静電エネルギー】3. n個の点電荷の静電エネルギーを導出する

この記事では, ３個以上の点電荷の静電エネルギーを導出します. ２個の場合については図を用いて解説していますので, もう少し基礎的な所から理解したい方には, 次の記事がおすすめです.

2個の点電荷が存在するときの静電エネルギーを求めます. 無限遠を基準として, 論理を順に追って考えていきます.

前回は２つの点電荷のエネルギーを導出しました. その際には, 無限遠に置かれた２つの点電荷$q_1, q_2$を, それぞれ位置$\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2$に運ぶために要する仕事を求めました. そして, 全過程で必要とした仕事こそが「静電エネルギー」であることを確認しました. 本記事では, そのアイデアを拡張し,

電荷が３個だと, 静電エネルギーはどうなるか.
更に, 任意のn個の電荷の場合の静電エネルギーはどのように表せるか.

これらの場合について考え, 点電荷の数と静電エネルギーの関係について, 丁寧に数式化していきます.

1. 点電荷が３つの場合

３個の点電荷$q_1, q_2, q_3$が, それぞれ位置$\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3$にある時の位置エネルギー, つまり静電エネルギーを求める.

①２個の点電荷を運んでくるまで

前回の記事のように, まず２個の点電荷$q_1, q_2$を無限遠から位置$\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2$まで運ぶ. これに必要な仕事は,

$$U_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_1 – \mathbf{r}_2|} \ …(1)$$

であった.

②３個目の電荷を運んでくる

第３の点電荷$q_3$ｗｐ無限遠から$\mathbf{r}_3$まで運ぶことを考える. 今度は, $q_3$を, 点電荷$q_1, q_2$のつくる電場中で動かすことになる. したがって, ③で必要な仕事は, $q_1, q_2$が位置$\mathbf{r}_3$につくるポテンシャル（電位）に$q_3$をかけたものになる.

ここで,

n 個の点電荷$q_1, q_2, … q_n$ がそれぞれ位置$\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, …\mathbf{r}_n$にあるときの点$\mathbf{r}$における電位は,
$$\phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{q_i}{|\mathbf{r} – \mathbf{r}_i|}$$

※これは一見複雑な関係式に見えるが, 各々の点電荷の作る電位（無限遠基準）を単に足し合わせている（重ね合わせている）だけである.

により, $q_1, q_2$による電位$\phi (\mathbf{r})$

$$\phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1}{|\mathbf{r} – \mathbf{r}_1|} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_2}{|\mathbf{r} – \mathbf{r}_2|} \ …(2)$$

これを用いると, 点電荷$q_3$を位置$\mathbf{r}_3$に運ぶのに要する仕事は,

\begin{align*}
U_2 &= q_3 \phi (\mathbf{r}_3)\\
&= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1}{|\mathbf{r}_3 – \mathbf{r}_1|} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_2}{|\mathbf{r}_3 – \mathbf{r}_2|}
\end{align*}

で与えられる.

③３個の電荷の静電エネルギー

３個の電荷の静電エネルギーは, ３個の電荷が無限遠にある状態から, それぞれ位置$\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3$に運ぶために必要な仕事である. よって,
（１）（２）で求めた仕事を足し合わせる.

\begin{align*}
U_3 &= U_1 + U_2\\
&= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_1 – \mathbf{r}_2|} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1}{|\mathbf{r}_3 – \mathbf{r}_1|} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_2}{|\mathbf{r}_3 – \mathbf{r}_2|}
\end{align*}

2. 点電荷がn個の場合

点電荷が２個, ３個の議論を拡張し, 無限遠にあるn個の点電荷を, それぞれ位置$\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, …\mathbf{r}_n$に運ぶのに要する仕事を求めることで, 点電荷がn個ある時の静電エネルギーを, 次のような和で表すことができる.

i) 点電荷がn個ある時の静電エネルギー

$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle \sum_{(i, j)}^{n}\frac{q_iq_j}{|\mathbf{r}_i – \mathbf{r}_j|} \ …(3)$$

$\displaystyle \sum_{(i, j)}^{n}$は, n個の電荷の内, ２つをペアとする時のすべての組み合わせについて, 和を取ることに相当する.

ii) 和の表式を変えてみる

(3)の和をとるときに, i, jの各々について i = j となるペアは避けて, 1からnまで足し合わせたとする. すると, 例えば(2, 3)という組は, i = 2, j = 3と i = 3, j = 2の２組を表し, 全ての組に２重数えが起きてしまう. 結果, $U$の値が(3)の２倍になることを考慮する必要がある. したがって, (3)は

$$U = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\displaystyle \sum_{i \ne j}^{n}\sum_{j \ne i}^{n}\frac{q_iq_j}{|\mathbf{r}_i – \mathbf{r}_j|} \ …(4)$$

のようにも表すことができる.

iii) (q_i\)以外の電荷による電位\phi ‘_iを用いた表式

(4)で i を止め, j について1～nまで i を除いて和を取った※ものは, “$q_i$以外の電荷による, $q_i$の位置$\mathbf{r}_i$における電位” = $\phi ‘_i$である. これを用いて,

\begin{align*}
& U = \frac{1}{2}\displaystyle \sum_{i=1}^n q_i\phi ‘_i\\
& \phi ‘_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle \sum_{j \ne i}^{n}\frac{q_j}{|\mathbf{r}_i – \mathbf{r}_j|} \ …(5)
\end{align*}

のように簡潔に記述することができる.

※ペアの選び方
まず i を止めてから, i = j 以外となる j と i をペアとする.
i = 1の時,(i, j) = (1, 2), (1, 3), … (1, n)の全ペアについての項の和をとる.
i = 2では(i, j) = (2, 1), (2, 3), … (2, n)の全ペアについての和を取る.
…
i = nでは(i, j) = (n, 1), (n, 2), … (n, n – 1)の全ペアについての和を取る.
i = 1～nそれぞれで得られた和を, 更にすべて足し合わせるので, (5)のように表現することができる.