【静電エネルギー】2. ２つの点電荷の静電エネルギーを導出する

２つの点電荷$q_1, q_2$をそれぞれ無限遠から, $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2$に運ぶために要する仕事は,
$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_1 – \mathbf{r}_2|}$$
で与えられ, これを点電荷$q_1, q_2$の持つ静電エネルギーと呼ぶ.

これを示してみよう.

（１）2つの点電荷が無限遠にある始状態

はじめ, 点電荷$q_1, q_2$は互いに無限に遠く離れているとする. また, ２つの点電荷は, 原点Oからも無限遠にあるとする.

（２）１つ目の点電荷を運んでくる

最初, 電荷$q_1$を位置$\mathbf{r}_1$まで運ぶときは, 電荷に力が働かないので, 要する仕事は0である.

（３）２つ目の点電荷を運んでくる

次に, 電荷$q_2$を位置$\mathbf{r}_2$まで運ぶときは, 電荷$q_2$を電荷$q_1$のつくる電場

$$\mathbf{E}_1 = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r} – \mathbf{r}_1}{|\mathbf{r} – \mathbf{r}_1|}$$

の中で動かすことになるので, 要する仕事は0ではない. ここで,

【静電エネルギー】1. 静電エネルギーとは？閉じた経路上の線積分から導出する【積分形渦なしの法則】

静電エネルギーの定義と, その導出について解説します. 閉じた経路上において, 電荷を動かすのに必要な仕事の線積分を計算します.

で解説しているように,

点Oを基準としたとき, 点Pに存在する電荷$q$の静電エネルギー
\begin{align*}
U_\mathrm{P} &= q\phi\\
&= q(\phi (\mathrm{P}) – \phi (\mathrm{O}))
\end{align*}
ただし, $\phi$は, 考えている空間上の電位を表す.

を用いる. 今, は点電荷$q_1$の作る電位$\phi_1 (\mathbf{r})$中で, 点電荷$q_2$を動かしていることに注意する. すると, 今基準点を$\infty$で表すとすれば, 必要な仕事として次が得られる.

\begin{align*}
U &= q\phi_\mathrm{P}\\
&= q_2 \phi _1(\mathbf{r}_2) – \phi _1(\infty)\\
&= \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}_2 – \mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}_2 – \mathbf{r}_1|}
\end{align*}

したがって,

位置$\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2$に存在する２つの点電荷$q_1, q_2$の持つ静電エネルギー:
$$U = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}_2 – \mathbf{r}_1}{|\mathbf{r} – \mathbf{r}_1|}$$

を導くことができた.