無限に長い直線上に線密度\(\lambda\)で一様に分布した電荷による電位を求めよ. ただし, 直線から\(a\)の距離にある点での電位を0とする.
[解]
1. 積分から求める方法
下図のように, 原点を中心とした長さ\(2l\)の直線上に分布した電荷による電位を計算し, 最後に\(l\)を無限大に取る極限を考える.
原点から\(s\)の距離にある直線上の微小区間\(\Delta s\)による, 点Pでの電位は,
1個の点電荷\(q_1\)が, 点\(\mathbf{r}_1\)にあるとき, 無限遠を基準とする点\(\mathbf{r}\)の電位\(\phi (\mathbf{r})\)は,
$$\phi (\mathbf{r}) = \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{1}{|\mathbf{r} – \mathbf{r}_1|}$$
により
$$\Delta \phi (r) = \frac{\lambda \Delta s}{4\pi \varepsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{s^2 + r^2}} – \frac{1}{\sqrt{s^2 + a^2}}\right)$$
※第２項は, \(r = a\)で\(\Delta \phi (r) = 0\)となるための補正項.
これを, \(s\)について\(-l \le s \le l\)の範囲で積分する. \(\Delta s\)を極限まで小さくしたとき, \(\Delta s \rightarrow \mathrm{d}s\)となり
\begin{align*}
\phi (r) &= \int_{-l}^{l}\Delta \phi (r)\\
&= \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0}\int_{-l}^{l}\left(\frac{1}{\sqrt{s^2 + r^2}} – \frac{1}{\sqrt{s^2 + a^2}}\right)\mathrm{d}s\\
&= \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\int_{0}^{l}\left(\frac{1}{\sqrt{s^2 + r^2}} – \frac{1}{\sqrt{s^2 + a^2}}\right)\mathrm{d}s …(1)
\end{align*}
(1)では, 偶関数の積分の性質を使った. ここで, 次のように積分を書き換えることができる.
\(t = s + \sqrt{r^2 + s^2}\)とおくと, 不定積分を
$$\int \frac{1}{\sqrt{r^2 + s^2}}\mathrm{d}s \rightarrow \int \frac{1}{t}\mathrm{d}t$$
と書き換えることができる.
証明）
\begin{align*}
\mathrm{d}t &= \left(1 + \frac{s}{\sqrt{r^2 + s^2}}\right)\mathrm{d}s \\
&= \frac{t}{\sqrt{r^2 + s^2}}\mathrm{d}s\\
&\rightarrow \frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{r^2 + s^2}} = \frac{1}{t}\mathrm{d}t
\end{align*}
同様に, \(t’ = s + \sqrt{a^2 + s^2}\)とおけば,
$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + s^2}}\mathrm{d}s \rightarrow \int \frac{1}{t’}\mathrm{d}t’$$
と書き換えることができる. これらの書き換えにより, 積分区間はそれぞれ次のように置き換わる.
| \(s\) | \(0\) | \(\rightarrow\) | \(l\) |
| \(t\) | \(r\) | \(\rightarrow\) | \(l+\sqrt{r^2+l^2}\) |
| \(s\) | \(0\) | \(\rightarrow\) | \(l\) |
| \(t’\) | \(a\) | \(\rightarrow\) | \(l+\sqrt{a^2+l^2}\) |
よって, (1)の続きから
\begin{align*}
\phi (r) &= \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\int_r^{l + \sqrt{r^2 + l^2}}\frac{1}{t}\mathrm{d}t – \int_a^{l + \sqrt{a^2 + l^2}} \frac{1}{t’}\mathrm{d}t’\right)\\
&= \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\left[\mathrm{log}|t|\right]r^{l + \sqrt{r^2 + l^2}} – \left[\mathrm{log}|t|\right]_a^{l + \sqrt{a^2 + l^2}}\right)\\
&= \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left\{\mathrm{log}|l + \sqrt{r^2 + l^2}| – \mathrm{log}r – \left(\mathrm{log}|l + \sqrt{a^2 + l^2}| – \mathrm{log}a\right)\right\}\\
&= \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\mathrm{log}\left|\frac{a}{r}\frac{l + \sqrt{r^2 + l^2}}{l + \sqrt{a^2 + l^2}}\right|
\end{align*}
無限長の直線の場合\(l \rightarrow \infty\)の極限を取ればよいので,
\begin{align*}
\phi (r) &= \displaystyle \lim_{l \to \infty}\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\frac{a}{r}\frac{1 + \sqrt{\left(\frac{r}{l}\right)^2 +1}}{1 + \sqrt{\left(\frac{a}{l}\right)^2 +1}}\\
&= \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\frac{a}{r}
\end{align*}
2. 微分方程式を解く方法
で簡単に求まるように, 点電荷が原点に置かれているとき, 原点から\(r\)の距離における電場の強さは, 次のように表せる.
$$E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$
ここで, 電場と電位の関係式\(\mathbf{E} = -\nabla\phi (\mathbf{r})\), すなわち一次元の場合
$$E(r) = \frac{\mathrm{d}\phi (\mathbf{r})}{\mathrm{d}r}$$
を適用すると,
$$\frac{\mathrm{d}\phi (\mathbf{r})}{\mathrm{d}r} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$
となる. この一階微分方程式を解けば, 電位が求まる. 両辺を\(r\)について積分すると
$$\phi (\mathbf{r}) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\mathrm{log}r + C$$
が得られる. \(C\)は任意定数である.
ここで, \(r = a\)において\(\phi (\mathbf{r}) = 0\)という境界条件により,
\begin{align*}
\phi (\mathbf{a}) &= -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\mathrm{log}a + C\\
&= 0\\
&\rightarrow \ C = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\mathrm{log}a
\end{align*}
したがって,
$$\phi (\mathbf{a}) &= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\mathrm{log}\frac{a}{r}$$
を導くことができる.
参考：物理入門コース「例解 電磁気学演習」 長岡洋介・丹慶勝市著
コメント