【微分形ガウスの法則】「発散」を用いて積分形から微分形を導出する

電磁気学

2022.12.01

1. 積分形ガウスの法則の復習

積分形ガウスの法則
真空中に点電荷（１式目）または空間的に連続分布する電荷（２式目）が存在するとき，任意の平曲面$S$上での電場の面積分と，平曲面に囲まれた空間$V$に含まれる総電荷量との間には，次の関係式が成り立つ.
\begin{align*}
\int_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dS = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{i \in V}q_i\\
\int_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dS = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho (\mathbf{r})dV
\end{align*}

ここで，ガウスの法則左辺の電場の面積分には，どのような物理的意味があるのだろうか？

それを理解するために，電場（電気力線）を，流れる水のような「流体」として捉えてみる．流体が，ある流速分布を持った流れているとき，位置$\mathbf{r}$における，局所的な流速を表すベクトルを$\mathbf{u}$とすると，

$$\int_S \mathbf{u}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}(\mathbf{r})dS = [S内部から単位時間に湧き出す流量]$$

のように，「湧き出し」の量に関する等式が成り立つ．

電場のガウスの法則についても，電束密度$\mathbf{D}(\mathbf{r}) \equiv \varepsilon_0\mathbf{E}(\mathbf{r})$という物理量を定義することで

$$\int_S \mathbf{D}\cdot\mathbf{n}dS = Q$$
Qは平曲面S内部の総電荷

という関係が成り立つ．これは，ガウスの法則の法則の両辺に，真空の誘電率$\varepsilon_0$をかけたものと等しい．

なぜ流体の話を持ち出したのかというと，２．で単位体積当たりの湧き出し量を表す「発散」という演算子を扱うためである．電場と流体の類似性を知っておくことで，演算子の意味をイメージをしやすくなる．

2. 積分形から微分系ガウスの法則を導く

まず，真空中の任意（サイズ・形）の領域において，次の積分形ガウスの法則が成り立つのであった.

\begin{align*}
\int_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dS &= \frac{Q}{\varepsilon_0}\\
&= \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho (\mathbf{r})dV
\end{align*}

このとき右辺の$Q = \int_V\rho (\mathbf{r})dV$は，平曲面S内部（領域V）に存在する総電荷である．また，１．で考えたように，左辺の$\int_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dS$は，平曲面Sの内部から，Sの外部への「電場（という流れ）の湧き出し量」と解釈できる．ここで，ベクトル解析における「発散」演算子$\nabla \cdot $を用いると，ある場所$\mathbf{r}$における電場の「湧き出し」は次のように与えられる．

単位体積当たりの湧き出し量「発散」（div; divergence）
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_x}{\partial x}$$

ここで，平曲面Sが囲む領域として，位置$\mathbf{r}_0$に存在し，体積$\Delta V$を持つ微小領域を選ぶ．位置$\mathbf{r}_0$における単位体積当たりの電場の湧出は$\left[\nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})\right]_{\mathbf{r} = \mathbf{r}_0}$であるから，Sからの電場の「湧き出し」について，次の関係式が成り立つ．

$$\int_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dS = \left[\nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})\right]_{\mathbf{r} = \mathbf{r}_0}\Delta V$$

また，領域が十分に小さければ，S内部における電荷の分布も$\rho (\mathbf{r}) = \rho (\mathbf{r}_0) $で一様であると見なせる．したがって，積分形ガウスの法則より，次の関係式が成り立つ．

$$\int_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dS = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho (\mathbf{r}_0)\Delta V$$

この2つの関係式の右辺同士は等しく，等式で結ぶと，両辺から$\Delta V$を落とすことができる．したがって，平曲面Sの位置$\mathbf{r}_0$を，一般の位置$\mathbf{r}$に書き直すことで，

微分形ガウスの法則
$$\nabla \cdot \mathbf{E} (\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho (\mathbf{r})$$
または電束密度を用いて
$$\nabla \cdot \mathbf{D} (\mathbf{r}) = \rho (\mathbf{r})$$

が導き出される．少々長々と数式を追ってきたが，結果的には，積分形ガウスの法則と，電場の「湧き出し」との関係がシンプルな法則として得られた訳である．